Desarrollo De Habilidades Del Pensamiento Matematico: ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:
9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x² - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x² + 10              a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0          a = 1    b = 2    c = - 8

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

                                                                    4 · -2 = -8

x + 4 = 0       x – 2 = 0

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x² + 12x – 8 = 0
4 4 4 4

x² + 3x – 2 = 0   Ahora, a= 1.

Ejemplo:
x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]

x² + 2x + 1 = 8 + 1

x² + 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)² = 9
(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4

Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:
X² + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
          2
X = -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

Ejercicios

Clasifica y resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado o cuadráticas:

1.-          x²−3x −4 = 0
2.-       5 x² −6x −1 = 0
3.-       3 x² −24 x   = 0
4.-     3 ( x² – 9) = 0

Soluciones

1.- Se trata de una ecuación cuadrática completa. Primer paso definir quiénes son los coeficientes a,b y c. Segundo paso aplicar fórmula cuadrática para resolverla.

a= 1; b= -3 y c= 4
Resolución:

2.- Se trata de una ecuación cuadrática completa. Primer paso definir quiénes son los coeficientes a,b y c. Segundo paso aplicar fórmula cuadrática para resolverla.

a= 5, b= -6 y c= -1
Resolución:

3.- En este caso se trata de una ecuación cuadrática incompleta, en la que falta el término independiente, o sea el coeficiente c. Es posible resolver esta ecuación utilizando la fórmula cuadrática y asignando a “c” el valor cero. Pero como ya habrás leído, existe una manera más sencilla de resolverla que comienza por sacar factor común “x” de ambos términos. Como queda un producto de dos factores cuyo resultado es cero, uno de los dos tiene que ser cero y esa es precisamente la base de las dos soluciones que estamos buscando. Presta atención y compara con tus propios resultados:

4.- En este caso es una ecuación cuadrática incompleta a la que falta su término lineal (vale decir “b=0″), pero que además requiere realizar una operación previa hasta llegar a su forma tipo. He aquí los pasos para su resolución:

Te invito a estar pendiente pues en los próximos días seguiré compartiendo más propuestas de este tipo: ejercicios de ecuaciones cuadráticas resueltas para que puedas hacer tus propias prácticas y comparar resultados.

Te desafío además a realizar las verificaciones en cada caso. Siempre es más que recomendable verificar, es decir un hábito que vale la pena incorporar.

Imagen: mathwarehouse